这道几何题的14种证明方法是怎么想到的?(2)

例题：如图，在ΔABC中，∠ACB=45度，点D是直线BC上的一个动点。以AD为一边在直线BC的同侧作正方形ADEF，其对角线AE、DF相交于点O。求证：OA=OC。

在上文中，我们以A为旋转中心，通过旋转变换，得到了6种不同的解法。那么还可以以谁为旋转中心呢？

我们再以D为旋转中心，通过旋转变换来拓展解题思路。

思路7：以点D为旋转中心来考察线段AC的两个端点C和A（参照点E） 。显然点A绕旋转中心D顺时针旋转了90度到E（等腰RT⊿ADE），故我们同样以点D为旋转中心，将点C也顺时针旋转90度，得到点G。因为DE=DA，所以此时的缩放比例为1:1。

解法7：过点D作GD⊥CD且使得DG=DC，连接EG。显然⊿DCG是等腰直角三角形。因为⊿DCG和⊿DAE都是等腰直角三角形，且具有公共的直角顶点D，故⊿GDE与⊿CDA必定是全等的，而且是绕点D旋转了90度的全等（其实就是手拉手模型的旋转全等）！所以∠DGE=∠DCA=135度，又因为∠DGC=45度，所以∠CGE=180度，从而C、G、E三点共线。因为∠ACE=180度-45度-45度=90度，又因为点O是AE中点，故OA=OC。

既然可以顺时针旋转，那么当然也可以逆时针旋转，于是我们又得到如下解法。

思路8：以点D为旋转中心来考察线段AC的两个端点C和A（参照点E） 。显然点E绕旋转中心D逆时针旋转了90度到A（等腰RT⊿ADE），故我们同样以点D为旋转中心，将点C也逆时针旋转90度，得到点G。因为DA=DE，所以此时的缩放比例为1:1。

解法8：过点D作GD⊥CD，交AC的延长线于点G，再连接CE，显然⊿DCG是等腰直角三角形。因为⊿DCG和⊿DEA都是等腰直角三角形，且具有公共的直角顶点D，故⊿DCE与⊿DGA必定是全等的，而且是绕点D旋转了90度的全等（其实就是手拉手模型的旋转全等）！所以∠ECD=∠AGD=45度，又因为∠ACB=45度，所以∠ACE=180度-45度-45度=90度。又因为点O是AE中点，故OA=OC。

总结：解法7和解法8的核心就是以点D为旋转中心，将C、A或顺时针或逆时针旋转90度！辅助线的具体作法就是以CD为一直角边，作一个等腰直角⊿DCG，再和等腰直角⊿ADE构成手拉手模型！最后结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来解题。其中辅助线的作法总结成口诀就是：共顶点，等顶角，见等腰，作等腰！构成手拉手，全等必定有！

将上述思路进行拓展，我们还会得到更多的解法！请接着往下看！

思路9：以点D为旋转中心来考察线段AC的两个端点C和A（参照点F） 。显然点A绕旋转中心D顺时针旋转了45度到F（等腰RT⊿DAF），故我们同样以点D为旋转中心，将点C也顺时针旋转45度，得到点G。因为FD=AD的根号2倍，所以此时的缩放比例为根号2:1。

解法9：以CD为一直角边作等腰直角三角形⊿GCD，再连接FG。因为⊿DCG和⊿DAF都是等腰直角三角形，且具有公共的底角顶点D，故⊿DCA与⊿DGF必定是相似的，而且是绕点D旋转了45度的相似（其实就是手拉手模型的旋转相似）！所以∠FGD =∠ACD=135度，又因为∠CGD=45度，所以∠CGF =180度，所以F、G、C三点共线。这样在RT⊿FCD中，因为O是DF的中点，所以OC=DF/2,而OA=DF/2，故OA=OC。

既然可以顺时针旋转，那么当然也可以逆时针旋转，于是我们又得到如下解法。

思路10：以点D为旋转中心来考察线段AC的两个端点C和A（参照点F） 。显然点F绕旋转中心D逆时针旋转了45度到A（等腰RT⊿ADF），故我们同样以点D为旋转中心，将点C也逆时针旋转45度，得到点G。因为DF=AD的根号2倍，所以此时的缩放比例为1:根号2。

解法10：以CD为斜边作等腰直角三角形⊿GCD，再连接CF。因为∠ACD=135度，又因为∠GCD=45度，所以∠ACG=180度，所以A、C、G三点共线。因为⊿DGC和⊿DAF都是等腰直角三角形，且具有公共的底角顶点D，故⊿DFC与⊿DAG必定是相似的，而且是绕点D旋转了45度的相似（其实就是手拉手模型的旋转相似）！所以∠FCD=∠AGD=90度，又因为O是DF的中点，所以OC=DF/2,而OA=DF/2，故OA=OC。

总结：解法9和解法10的核心就是以点D为旋转中心，将C、A或顺时针或逆时针旋转45度，再进行缩放！辅助线的具体作法就是以CD为一边，作一个等腰直角⊿CDG，再和等腰直角⊿FDA构成手拉手模型！最后再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来解题。其中辅助线的作法总结成口诀就是：共顶点，等底角，见等腰，作等腰！构成手拉手，相似必定有！

下面再看两种解法。

思路11：以点D为旋转中心来考察线段AC的两个端点C和A（参照点O） 。显然点A绕旋转中心D顺时针旋转了45度到O（等腰RT⊿DAO），故我们同样以点D为旋转中心，将点C也顺时针旋转45度，得到点G。因为DA=DO的根号2倍，所以此时的缩放比例为1：根号2。

解法11：以CD 为斜边作等腰直角三角形⊿GCD ,再连接OG。因为⊿GCD和⊿OAD都是等腰直角三角形，且具有公共的底角顶点D，故⊿OGD与⊿ACD必定是相似的，而且是绕点D旋转了45度的相似（其实就是手拉手模型的旋转相似）！所以∠OGD=∠ACD=135度。又因为∠CGD=90度，所以∠OGC=360度-135度-90度=135度，则∠OGC=∠OGD。这样⊿OGC与⊿OGD必定全等（SAS），因此OC=OD。又因为OA=OD，故OA=OC。

思路12：以点D为旋转中心来考察线段AC的两个端点C和A（参照点O） 。显然点O绕旋转中心D逆时针旋转了45度到A（等腰RT⊿ADO），故我们同样以点D为旋转中心，将点C也逆时针旋转45度，得到点G。因为AD=OD的根号2倍，所以此时的缩放比例为根号2:1。

解法12：以CD为一直角边作等腰直角三角形⊿GCD，再连接AG。因为⊿DGC和⊿DAO都是等腰直角三角形，且具有公共的底角顶点D，故⊿DGA与⊿DCO必定是相似的，而且是绕点D旋转了45度的相似（其实就是手拉手模型的旋转相似）！因为∠ACG=360度-135度-90度=135度，而∠ACD=135度，所以∠ACG=∠ACD。这样⊿ACG与⊿ACD必定全等（SAS），因此AG=AD。又因为相似，故OC=OD。因为OA=OD，所以OA=OC。

总结：解法11和解法12的核心就是以点A为旋转中心，将C、D或顺时针或逆时针旋转45度，再进行缩放！ 辅助线的具体作法就是以AC为一边，作一个等腰直角⊿CAG，再和等腰直角⊿ADE构成手拉手模型！最后再结合三角形全等来解题。其中辅助线的作法总结成口诀就是：共顶点，等底角，见等腰，作等腰！构成手拉手，相似必定有！

以上6种解法皆是以点D为旋转中心，或顺时针旋转，或逆时针旋转，或全等，或相似，都可以将题中相关条件集中在一起，从而为我们解题打开了突破口！还可以有其它的解法吗？下一集我们精彩继续。为防迷路，请点关注！消化要良，请你收藏！